Родился 16 сентября 1967 в г. Харьков в семье ученого.
Отец - известный советский ученый-химик и изобретатель, который всю жизнь проработал в НИИ «НИОХИМ» и был награжден благодарностью Королевы Великобритании Елизаветы II за выдающиеся достижения в области химии.
Мать посвятила свою жизнь семье и воспитанию троих детей.
В 1974 году поступил в СШ №114 г. Харькова.
Сразу после окончания школы начал самостоятельно зарабатывать на жизнь и работал на завод «Радиореле».
В 1985 году был призван в ряды вооруженных сил, проходил службу в воздушно-десантных войсках.
После службы в армии, с 1988 по 1989 гг. работал грузчиком в универмаге «Дом Торговли».
1991-1992 гг. - начал заниматься предпринимательской деятельностью.
1992-1995 гг. - менеджер АО «Барвинок».
1996-1998 гг. - директор АО «Луч».
1997-2004 гг. - учится в Харьковской национальной юридической Академии Украины им. Ярослава Мудрого и получает высшее образование по специальности «правоведение».
1998-2001 гг. - заместитель председателя правления ОАО «Харьковский научно-исследовательский проектно-конструкторский институт «Энергопроект».
С 2005 г. - по настоящее время - директор ОАО «Харьковский научно-исследовательский и проектный институт «Енергоатомтехника».
Несколько раз попадал в национальный рейтинг самых богатых людей Украины по версии издания «Фокус»: 2012 год - 169 место; 2013 год - 111 место.
В 2001 году был назначен на должность первого заместителя начальника Управления топливно-энергетического комплекса Харьковской ОГА.
В течение нескольких лет был советником по экономическим вопросам председателя ОГА Евгения Кушнарева.
2002 - 2015 г.г. - депутат Харьковского городского совета 4, 5 и 6 созывов.
На протяжении многих лет активно участвует в благотворительной деятельности на территории г.Харьков и Харьковской области. Был одним из спонсоров этно-фестиваля «Печенежское поле», оказывал помощь «Областному организационно-методическому центру культуры и искусства», поддерживал деятельность общественных организаций, коммунальных учреждений и местных общин Харьковщины.
Имя Александра Гринько значится среди меценатов, которые помогали строить Монумент Независимости и площадь Конституции в Харькове.
С 2007 года работает над реконструкцией и возрождением Свято-Антониевского Храма на месте кинотеатра «Юность». Ведь после приобретения кинотеатра выяснилось, что именно на этом месте находилась Университетская церковь преподобного Антония Великого. После октябрьской революции, во исполнение «Декрета об отделении церкви от государства и школы», Храм был закрыт большевиками. В тридцатых годах 20 столетия здесь располагался «Институт физкультуры» и «Клуб красного учителя». В 1963 году в помещении был открыт кинотеатр «Пионер», который в 1973 году был переименован в «Юность».
На восстановление Храма 2009 А.Гринько получил личное благословение от Блаженнейшего Митрополита Киевского и Всея Украины Владимира (Сабодана).
В 2019 году оказал содействие и выступил соорганизатором в проведении Второй биеннале современного искусства и выставки «Призрак оперы и балета» в помещении ХНАТОБ им. Лысенко. Также, по информации СМИ, поддерживает деятельность известной харьковской художественной студии «Aza Nizi Maza».
Сегодня Александр Гринько работает над защитой и сохранением детского оздоровительного лагеря «Огонек» в Дергачевском районе Харьковской области, который 2018 стал предметом рейдерской атаки и был разрушен злоумышленниками.
После окончания всех судебных споров с заказчиками рейдерской атаки, по словам А. Гринько, этот детский оздоровительный лагерь будет полностью модернизирован и восстановлен. При этом, будет сохранен его рекреационно-оздоровительный и детско-юношеский профиль.
Награжден многими почетными наградами и благодарностями от Президента Украины, Украинской православной церкви, харьковского городского головы.
Не женат. Воспитывает дочь.